Деление столбиком

Основные понятия

Во всем мире принято использовать эти десять цифр для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название числа напрямую зависит от количества знаков. Однозначное — состоит из одного знака. Двузначное — из двух. Трехзначное — из трех и так далее.

Разряд — это позиция, на которой стоит цифра в записи. Их принято отсчитываются с конца.

• Разряд единиц — то, чем заканчивается любое число.
• Разряд десятков — то, что находится перед разрядом единиц.
• Разряд сотен стоит перед разрядом десятков. На место отсутствующего разряда всегда можно поставить ноль.

Вычитание — это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее — вычитаемым. Результат их вычитания — разностью.

Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа. a — 0 = a Если из числа вычесть само это число, то разность равна нулю. a — a = 0 Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое. a — (b + c) = a — b — c Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых. (a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c) Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. а + (b — c) = a + b — c

Алгоритм вычитания в столбик

Вычитать столбиком проще, чем считать в уме, особенно при действиях с большими числами. Этот способ наглядный — помогает держать во внимании каждый шаг.

Рассмотрим алгоритм вычитания в столбик на примере: 4312 — 901.

Шаг 1. При вычитании столбиком самое главное — правильно записать исходные данные, чтобы самая правая цифра первого числа была под правой цифрой второго числа.

Большее число (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак минус. Вот так:

Шаг 2. Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры. Вычитаем по цифре (знаку). Результат записываем под чертой.

Шаг 3. Далее вычитаем из второй цифры справа: из «1» ноль.

Шаг 4. Теперь нам нужно вычесть из «3» девять. Это сделать невозможно. Поэтому займем десятку у соседа слева от тройки. Это цифра «4». Поставим над четверкой точку. Занятый десяток прибавим к «3»: 10 + 3 = 13.

Из «13» вычтем девять: 13 − 9 = 4.

Так как мы заняли десяток у «4», значит четверка уменьшилось на единицу. Об этом нам напоминает точка над «4»: 4 − 1 = 3. Вот, как это выглядит:

Рассмотрим пример вычитания в столбик чисел с нулями: 1009 — 423.

Шаг 1. Запишем числа в столбик. Большее число ставим сверху.

Вычитаем справа налево по одной цифре.

Шаг 2. Так как из нуля нельзя вычесть «2», занимаем у соседней цифры слева (ноль). Поставим над «0» точку. У нуля занять нельзя, поэтому смотрим на следующую цифру. Занимаем у «1» и ставим над ней точку. Теперь вычитаем не из нуля двойку, а из «10». Вот так:

Запоминаем!
Если при вычитании столбиком над нулем стоит точка, значит ноль превращается в «9».

Шаг 3. Над нулем стоит точка, поэтому нуль превращается в «9». Вычитаем из «9» четыре: 9 − 4 = 5.

Над «1» стоит точка. Единица уменьшается на «1»: 1 − 1 = 0. Если в результате разности левее всех цифр стоит ноль, то его записывать не надо.

Так выглядит алгоритм вычитания в столбик. Во 2 классе школьники могут сделать себе подсказку в виде таблички. А позже алгоритм запомнится и будет срабатывать автоматически, как «дважды два четыре».

Чтобы запомнить алгоритм вычитания, нужно чаще решать примеры. Сделать это легко — в современной школе Skysmart обучение проходит в интерактивном формате и с учетом индивидуальных целей ученика.

Как объяснить ребенку деление и научить делить столбиком?

дети-школьники тренируются делить числа столбиком

Во-первых, учтите ряд вводных факторов:

• ребёнок знает таблицу умножения
• хорошо разбирается и умеет применять на практике действия вычитания и сложения
• понимает разницу между целым и его составными элементами

Дальше акценты в ваших действиях выглядят так:

• поиграйте с таблицей умножения. Положите её перед ребёнком и на примерах покажите удобство использования при делении,
• объясните расположение делимого, делителя, частного, остатка. Предложите ребёнку повторить эти категории,
• превратите процесс в игру, придумайте историю про цифры и действие деления,
• подготовьте наглядные предметы для обучения. Подойдут счётные палочки, яблоки, монеты, игрушки, очищенные сведение или апельсин. Предлагайте их распределить между разным количеством людей, например, между мамой, папой и ребенком,
• первым показывайте ребёнку действия с чётными числами, чтобы он видел результат деления, кратный двум.

Сам процесс освоения деления столбиком:

• запишите цифры, разделив их границами. Повторите с ребёнком расположение категорий деления,
• предложите ему проанализировать цифры делимого на предмет «больше-меньше» делителя. Помогайте вопросом — сколько раз одно число помещается во втором. В результате ребёнку следует выделить то число/числа, которые он будет применять для совершения первого действия,
• подскажите алгоритм определения разрядности частного. Её удобно изобразить точками, которые потом превратятся в цифры,
• помогите правильно определить и записать первое число в частное, совершите его умножение на делитель, запишите результат под делимым, выполните вычитание. Объясните, что результат вычитания всегда должен быть меньше делителя. В противном случае действие совершилось с ошибкой и его следует переделать,
• следующий шаг — анализ ситуации с добавлением второго числа от делимого и определения количества раз повторения делителя в нём,
• снова помогите с записью действия,
• продолжайте до момента, когда результат от разницы составит ноль. Это актуально только для деления чисел без остатка,
• закрепите знания у ребёнка еще несколькими примерами. Следите, чтобы он не устал, иначе дайте перерыв.

Сначала стоит доходчиво объяснить, что такое деление на простом примере. Суть математического действия — разложить число поровну. В 3-м классе дети хорошо учатся на доступных примерах: раздают кусочки торта гостям, рассаживают кукол по 2 машинам.

Когда малыш усвоит суть деления, покажите его запись на листке. Используйте уже знакомые задания с простыми числами:

• Сначала запишите задачу обычным способом: 250:2=?
• Каждому числу дайте название: 250 — делимое, 2 — делитель, результат после знака равно — частное.
• Затем сделайте сокращенную запись столбиком (уголком):

• Рассуждайте вместе так: сначала найдем неполное частное. Это будет 2, так как оно не меньше делителя, а вернее, равно ему. В этом числе помещается один делитель, значит, в частное записываем цифру 1 и умножаем ее на 2. Заносим полученный результат под делимым. Отнимаем 2-2. Получится ноль, поэтому сносим следующее число и опять подыскиваем частное. Совершаем математическое действие до тех пор, пока не получится ноль.
• После получения окончательного результат сделайте проверку с помощью умножения: 125х2=250.

Желательно научить третьеклассника рассуждать в процессе вычисления вслух, выполнять действия на черновике. Сначала проговаривайте алгоритм вместе, потом только слушайте ученика и помогайте исправить ошибки.

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как ab=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:

Определение 3

Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.

Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

Пример 5

Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.

Решение

Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).

Ответ: делимое будет равно 79.

Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

Определение 4

Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.

У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

Пример 6

Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.

Решение 

Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.

Ответ: остаток от деления равен 7.

Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d)b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d)b.

Определение 5

Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.

Пример 7

Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.

Решение

Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13)52=20852=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).

Ответ: неполное частное равно 4.

Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d)c=b. Также будет верно b=(a−d)c. Сформулируем правило:

Определение 6

Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.

Возьмем пример решения такой задачи.

Пример 8

Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.

Решение

Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:

Ответ: делитель равен 25.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Общий принцип деления в столбик

Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.

Решим пример \(\textcolor{red} {295383\div 34}\).

Далее записываем известные
компоненты деления следующим образом:

и начинаем вычисление:

1. Берем первое неполное делимое
и пытаемся его разделить на делитель.

Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.

Записываем в частное первую найденную цифру
разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного
частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е.
вычитаем из неполного частного результат этого произведения.

В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor{red} {8\cdot 37=272}\). Записываем его под 295 и находим разницу: \(\textcolor{red} {295-272=23}\). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.

В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.

2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.

Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.

3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.

При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.

4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.

Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия \(\textcolor{red} {295383\div 34=8687}\) и 25 в остатке.

Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor{red} {25326\div 63}\).

Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.

Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.

1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.

Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать , поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.

Итак, запомните, что
каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда
и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно
записать нулевой результат этого действия.

126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления \(\textcolor{red} {25326\div 63=402}\).

Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.

Деление на числа, заканчивающиеся нулями

Как и в случае с
умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или
несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:

• частный – когда делитель является единицей с нулями
• общий – когда делитель любое число, оканчивающееся нулями.

Рассмотрим первый случай.

Деление на единицу с любым количеством
нулей

Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.

Следовательно, разделить число, к примеру, на 10, 1000, 10000000 и т.д. – это значит определить, сколько в нем содержится десятков, тысяч, десятков миллионов. А как узнать, сколько в каком-либо числе содержится единиц любого разряда я уже рассказывал в уроке разряды и классы. Для завершения действия деления нужно лишь записать в остаток число, которое получается из отбрасываемых нами цифр.

Например:

\(\textcolor{red} {75427916\div 10=7542791}\) (остаток 6); \(\textcolor{red} {75427916\div 1000=75427}\) (остаток 916); \(\textcolor{red} {75427916\div 10000000=7}\) (остаток 5427916).

Запишите:Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.

Деление на число, оканчивающееся нулями

Рассмотрим на примере \(\textcolor{red} {284556\div 2800}\).

Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.

В числе 284556 всего 2845 сотен да еще 56 единиц. Разделим 2845 сотен на 28 сотен, получим частное 101 и 17 сотен неразделенными. Прибавив к неразделенным 17 сотням 56 единиц из делимого, получим 1756. В этом числе делитель 2800 не помещается ни один раз, значит, 1756 – это остаток: \(\textcolor{red} {284556\div 2800=101}\) (остаток 1756).

Запишите:Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.

Как делить в столбик с остатком?

Завершающим этапом уроков на закрепление навыка деления будет решение заданий с остатком. Они обязательно встретятся в решебнике для 3–4-го класса. В гимназиях с математическим уклоном школьники изучают не только неполные числа, но и десятичные дроби. Форма записи примера уголком останется прежней, отличаться будет только ответ.

Примеры на деление с остатком берите несложные, можно преобразовывать уже решенные задания с целым числом в ответе, прибавляя к делимому единицу. Это очень удобно для ребенка, он сразу увидит, чем примеры похожи и чем отличаются.

Урок может выглядеть так:

1. Расскажите ученику третьего класса, что не все цифры можно поделить поровну. Для иллюстрации понятия возьмите натуральное число до 10. Например, попробуйте вместе разделить 9 на 2. Форма записи решения столбиком получится такой:
2. Объясните школьнику, что остатком считается последнее число для деления, которое меньше делителя. Конец записи будет таким: 9:2=4 (1 — остаток).

Деление с остатком

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

• Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
• Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

• В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
• Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
• Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
• К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
• Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

слайд из презентации о делении чисел с остатком

Запишите его в ответе либо:

• как дробь, где в числителе остаток, а в знаменателе — делитель
• словами, например, 73 целых и 6 в остатке

Как выучить деление и умножение с ребенком

Самый элементарный метод, с помощью которого можно научиться умножать и делить, представлен наглядной демонстрацией разделения предметов на равные части или же увеличения этих долей. В роли предметов, которые используются в качестве обучающего реквизита, должны выступать предметы, вызывающие в уме школьника интерес.

Умножение и деление однозначных чисел

Для деления однозначных чисел на однозначные лучше всего использовать таблицу умножения, но перед этим следует объяснить своему чаду, что деление – это действие, противоположное умножению. Сделать это можно с помощью любого правильного деления натуральных чисел, к примеру, 2 умножить на 4 будет 8. Придерживаясь данного примера, показать карапузу делительный процесс:

• разделить 8 на любой множитель, например, на число 2;
• в ответе получится 4, то есть множитель, который не был использован при делении.

Таким методом также делятся многозначные (двухзначные) числа на однозначные. А для того, чтобы освоить процесс умножения однозначных чисел, вместе с малышом достаточно лишь постепенно учить таблицу умножения.

Алгоритм деления однозначных чисел

Умножение и деление двузначных чисел

В целях разъяснения дошкольнику процесса умножения двухзначных цифр опытные педагоги рекомендуют прибегать к итальянскому методу или методу «решетки». Для начала следует на листе бумаги начертить мини-таблицу два на два: одно число записать по длине, а другое – по ширине таблицы. Каждую клетку нужно разделить по диагонали ровной линией, после чего в образовавшиеся треугольники вписать результат умножения чисел (отдельно десятки, отдельно единицы).

Далее вместе с ребенком сложить «произведения» строго по диагонали, результат подписать. Произведение будет равно значению, которое образуется в процессе чтения цифр снизу вверх и направо.

Некоторые родители предпочитают использовать китайско-японский способ умножения в процессе обучения своих детей. Он может показаться более сложным, чем метод «решетки», но на деле все не так страшно. Следует всего лишь нарисовать цифры линиями, посчитать «узлы», которые образовались при пересечении, и «собрать» из них произведение. В процессе подсчета учитываются следующие моменты:

• количество узлов, которые получились при пересечении линий, обозначающих десятки перемножаемых чисел = количество сотне произведения;
• узлы, получившиеся при пересечении прямых, обозначающих единицы и десятки умножаемых цифр = количество десятков произведения.

Обратите внимание! Что касается количества узлов, образовавшихся путем пересечения линий, которые обозначают единицы умножаемых чисел, то оно равняется количеству единиц произведения. Если ребенок еще не проходил метод деления двухзначных цифр «столбиком», то нужно объяснить ему на более простом языке

Для примера можно взять 66/3. Число 64 раскладываем на цифры, которые устно можно поделить на 3:

Если ребенок еще не проходил метод деления двухзначных цифр «столбиком», то нужно объяснить ему на более простом языке. Для примера можно взять 66/3. Число 64 раскладываем на цифры, которые устно можно поделить на 3:

64 = 30 + 30 + 6.

Малышу сразу все станет понятно: 30 и 6 мы сможем поделить на 3, после чего нужно будет только сложить результаты, т. е. 66 / 3 = 10 (получили в процессе деления 30 на 3) + 10 (30 поделили на 3) + 2 (6 поделили на 3).

66 / 3 = 22. Здесь не был использован метод разделения в столбик, но карапуз сразу поймет ход рассуждений и выполнит простые вычисления без труда.

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Определение 3

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=a−b·c.

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя  с получением неполного частного с
• остатком;
• прибавление 1 к неполному частному;
• вычисление остатка, исходя из формулы d=a−b·c.

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Пример 8

Найти неполное частное и остаток при делении -17 на -5.

Решение

Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное =3, а остаток равен 2. По правилу необходимо сложить неполное частное и 1. Получим, что 3+1=4. Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a=−17, b=−5, c=4, тогда, используя формулу, получим d=a−b·c=−17−(−5)·4=−17−(−20)=−17+20=3. Искомый ответ, то есть остаток, равен 3, а неполное частное равно 4.

Ответ: (−17)(−5)=4 (ост. 3).

Описание

Примеры на деление с остатком сами по себе не сложные, но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

Программа представляет собой тренажер для решения примеров на деление с остатком. В результате нужно найти частное от деления и остаток, делимое или делитель.

Вид задания и уровень сложности:

1. Примеры на деление с остатком в пределах 100 или в пределах 1000:Печатается 2 столбика по 20 примеров: в первом столбике нужно найти частное от деления и остаток;во втором столбике нужно найти делимое или делитель.
2. Цепочки примеров в пределах 100 или в пределах 1000:Делимое следующего примера рассчитывается как делитель * остаток от деления + частное предыдущего примера (Пример: 86 : 4 = 21 (ост.2); Делимое следующего примера = 4 * 2 + 21 = 29). В этом случае проверка каждого примера не требуется, достаточно сверить итоговый ответ.

Программа счета написана в Excel с помощью макросов. С помощью генератора примеров можно создать и распечатать готовые карточки с примерами на деление с остатком для детей разного возраста и уровня подготовки: деление на однозначное, двузначное и трехзначное числа. Поэтому карточки с примерами подойдут как для детей начальной школы (3 и 4 класс), так и для детей более старшего возраста.

Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры на деление с остатком, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

• • Деление с остатком на число (с выбором уровня сложности)
  • Умножение и деление по типам (табличное, внетабличное, круглых чисел)
  • Сложение и вычитание в столбик
  • Умножение в столбик
  • Деление в столбик
  • Умножение и деление в столбик
  • Порядок действий в пределах 1000 (все действия)
  • Сложные примеры на порядок действий
  • Выражения с именованными числами

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления  с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Пример 3

Произвести деление 14671 на 54.

Решение

Данное деление необходимо выполнять столбиком:

То есть неполное частное получается равным 271, а остаток – 37.

Ответ:14 67154=271. (ост. 37)

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : , 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·=<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.

3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — . В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Важно!

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на , 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на , 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·=<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число , и под делителем в следующий разряд частного также записываем .

3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9.

Запишем:

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792, а остаток равен 8.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7.

Ответ: 1006005

Подведем итоги

Зная, что будет, если перелить масло в двигатель, вы обезопасите свой автомобиль. Любое отклонение показателя уровня смазочного вещества от нормы может нарушить привычную работоспособность двигательной системы. Если вам дорог автомобиль, допускать этого нельзя. Возьмите в привычку, проверять количество масла в моторе не реже 2-х раз в неделю. Во-первых, так вы никогда не допустите «захлебывания» силового агрегата. Во-вторых, сумеете вовремя диагностировать протечку двигателя. В-третьих, научитесь оценивать состояние смазки путем изучения ее остатков на извлекаемом масляном щупе. И, наконец, подарите своему автомобилю возможность прожить долгую жизнь.